Morgenstern-Price
La méthode de Morgenstern-Price est une méthode des tranches générale développée sur la base de l'équilibre limite. Elle nécessite un équilibre satisfaisant des forces et des moments agissant sur des blocs individuels. Les blocs sont créés en divisant le sol au-dessus de la surface de glissement par des plans de division. Les forces agissant sur les blocs individuels sont représentées sur la figure suivante :
Schéma statique - méthode de Morgenstern-Price
Les forces suivantes sont supposées agir sur chaque bloc comme pour la méthode Spencer. Les hypothèses suivantes sont introduites dans la méthode de Morgenstern-Price pour calculer l’équilibre limite des forces et des moments sur des blocs individuels :
- les plans de division entre les blocs sont toujours verticaux
- la ligne d'action du poids du bloc Wi passe par le milieu du ième segment de la surface de glissement représenté par le point M
- la force normale Ni agit au milieu du ième segment de la surface de glissement représenté, au point M
- l'inclinaison des forces Ei agissant entre les blocs est différentes sur chaque bloc (δi), aux extrémités de la surface de glissement, on a : δ = 0
De là, la seule différence entre la méthode de Spencer et la méthode de Morgenstern-Price est un choix différent de l'inclinaison des forces interblocs δi. Le choix de l'angle d'inclinaison δi des forces Ei agissant entre les blocs est réalisé à l'aide de la fonction demi-sinus - une des fonctions de la figure ci-dessous est automatiquement choisie. Ce choix de la forme de la fonctio a une influence mineure sur les résultats finaux, mais un choix approprié peut améliorer la convergence de la méthode. La valeur fonctionnelle de la fonction demi-sinus f(xi) au point limite xi multipliée par le paramètre λ donne la valeur de l'angle d'inclinaison δi.
Fonction demi-sinus
Comme pour la méthode de Spencer, la solution prend alors la forme suivante :
| (1) |
| (2) |
| (3) |
| (4) |
| (5) |
où : | φi | - | angle de frottement interne du sol sur le segment de surface de glissement |
ci | - | cohésion du sol sur le segment de surface de glissement | |
αi | - | inclinaison du segment de surface de glissement |
- l'équation (1) représente la relation entre la valeur effective et la valeur totale de la force normale agissant sur la surface de glissement
- l'équation (2) correspond à la condition de Mohr-Coulomb représentant la relation entre les forces normales et les forces de cisaillement sur une portion donnée de la surface de glissement (Ni et Ti)
- l'équation (3) représente l'équation d'équilibre des forces dans la direction normale au ième segment de la surface de glissement
- l'équation (4) représente l'équation d'équilibre des forces le long du ième segment de la surface de glissement
- l'équation (5) correspond à l'équation d'équilibre des moment autour du point M.
En modifiant les équations (3) et (4), on obtient la relation de récurrence (6) :
| (6) |
Cette formule permet de calculer toutes les forces Ei agissant entre les blocs pour des valeurs données de δi et FS. Cette solution suppose que la valeur de E à l'origine de la surface de glissement vérifie E1 = 0.
De l'équation d'équilibre des moments (5) découle la relation de récurrence (7) :
| (7) |
Cette formule permet de calculer tous les bras de levier zi des forces agissant entre les blocs pour une valeur donnée de l'angle δi, la valeur à gauche de l'origine de la surface de glissement valant z1 = 0.
Le coefficient de sécurité FS est déterminé en utilisant le processus itératif suivant :
1. | La valeur initiale des angles δi est fixée à l'aide de la fonction demi-sinus (δi = λ*f(xi). |
2. | Le coefficient de sécurité FS, pour une valeur donnée de δi, découle de l'équation (6), en supposant En+1 = 0 à l'extrémité supérieure de la surface de glissement. |
3. | La valeur l'angle δi est fournie par l'équation (7) en utilisant les valeurs de Ei déterminées à l'étape précédente et à condition d'avoir le moment nul sur le dernier bloc. Les valeurs fonctionnelles f(xi) restent les mêmes au cours de l'itération, seul le paramètre λ est itéré. L'équation (7) ne fournit pas la valeur de zn+1, puisqu'elle est nulle. Pour cette valeur l'équation d'équilibre des moments (5) doit être satisfaite. |
4. | Les étapes 2 et 3 sont répétées jusqu'à ce que la valeur de δi (resp. du paramètre λ) n'évolue plus. |
Pour que le processus itératif reste stable, il est nécessaire de supprimer les cas de divergences. Elles apparaissent lors de division par zéro dans les équations (6) et (7). Dans l'équation (7), la division par zéro apparait pour δi = π/2 ou δi = -π/2. Ainsi la valeur de δi doit se trouver dans l'intervalle ]-π/2,π/2[.
La division par zéro apparait dans l'équation (6) quand :
La valeur du paramètre mα est une autre source d'instabilité numérique, pour l'éviter, la condition suivante doit être satisfaite:
Par conséquent, avant de lancer les itérations, il est nécessaire de trouver la plus grande des valeurs critiques FSmin satisfaisant aux conditions mentionnées ci-dessus. Les valeurs inférieures à cette valeur critique FSmin se trouvent dans la zone d'instabilité des solutions. Par conséquent, l'itération commence en définissant FS sur une valeur «juste» au-dessus de FSmin et toutes les valeurs de FS obtenues par les calculs itératifs sont supérieures à FSmin.
Généralementes les méthodes rigoureuses convergent moins bien que les méthodes plus simples (Bishop, Fellenius). Des exemples de problèmes de convergence proviennent de sections trop pentues de la surface de glissement, d'une géométrie complexe, d'un saut de surcharge significatif, etc. Si aucun résultat n'est obtenu, nous recommandons de modifier légèrement les données d'entrée (par exemple une surface de glissement moins pentue, introduire plus de points sur la surface de glissement, etc.) ou d'utiliser des méthodes plus simples.
Littérature :
Morgenstern, N.R., and Price, V.E. 1965. The analysis of the stability of general slip surfaces. Géotechnique, 15(1): 79-93.
Morgenstern, N.R., and Price, V.E. 1967. A numerical method for solving the equations of stability of general slip surfaces. Computer Journal, 9: 388-393.
Zhu, D.Y., Lee, C.F., Qian, Q.H., and Chen, G.R. 2005. A concise algorithm for computing the factor of safety using the Morgenstern-Price method. Canadian Geotechnical Journal, 42(1): 272-278.